1/a + 1/b + 1/c < 1

Rozwiązanie:

1. Czy możliwe jest, żeby wszytkie ułamki 1/a,  1/b,  1/c były ł 1/3 ??

   Nie bo wtedy 1/a + 1/b + 1/c ł1

   1/x < 1/3

   x > 3

   x ł 4

   Przynajmniej jedna z liczb jest ł 4 czyli jedna albo dwie albo trzy liczby są ł 4

   I przypadek - trzy liczby są ł 4

   a ł 4                   1/a Ł 1/4

   b ł 4                   1/b Ł1/4

   c ł 4                   1/c Ł 1/4

   1/a + 1/b + 1/c Ł 1/4 + 1/4 + 1/4

   1/a + 1/b + 1/c Ł 3/4 < 41/42

   Jeżeli wszytkie liczby są ł 4 to suma ich odwrotności jest mniejsza od 41/42.

   II przypadek - dwie liczby są ł 4

   a < 4                    a ą 1

   b ł 4                    1/b Ł 1/4

   c ł 4                    1/c Ł 1/4

   a) Jeżeli a=2 i b= 4 to

   1/c < 1/4

   c > 4

   c ł 5

   1/c Ł 1/5

   1/a + 1/b + 1/c =1/2 +1/4 + 1/c Ł 1/2 + 1/4 + 1/5 = 19/20 < 41/42

   b) Jeżeli a=2 i b ą 4 to:

   bł5

   cł5

   1/a + 1/b + 1/c Ł1/2 + 1/5 + 1/5 = 9/10 < 41/42

   Jeżeli a = 2, to 1/a + 1/b + 1/c < 41/42

   Jeżeli a = 3 to b ł4 i cł4

   1/a + 1/b + 1/c Ł 1/3 + 1/4 + 1/4 = 10/12 < 41/42

   Jeżeli dwie liczby są ł 4 to 1/a + 1/b + 1/c < 41/42

   III przypadek - tylko jedna liczba jest ł 4

   c ł 4

   a < 4

   b < 4

   a) a = 2 Ţ b=3

   1/a + 1/b + 1/c < 1

   1/2 + 1/3 + 1/c < 1 / -(1/2 + 1/3)

   1/c < 1/6

   c > 6

   c ł 7

   1/a + 1/b + 1/c Ł 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42

   b) a = 3 Ţ b = 3                    1/c ł1/4

   1/a + 1/b + 1/c Ł 1/3 + 1/3 + 1/4 = 11/12 < 41/42

   Jeżeli tylko jedna liczba ł 4 to 1/a + 1/b + 1/c Ł 41/42